--- title: 动态规划(1) date: 2018-8-27 02:17:07 tags: - 算法 - 动态规划 categories: - 算法 --- ### 楔子 最大子序和 ( leetcode题目 ) 给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。 > 示例: 输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4], 输出: 6 解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。 题目只需要求最大的和是多少, 而不需要知道这个子数组的起止位置 首先需要明确的是, 如果这个子数组的边缘位置(第一个或最后一个)元素是一个负数 那么这个子数组的和肯定不是最大的, 因为舍掉这个元素, 之后的和肯定会更大, 负数是会让总和减小的 比如[-3,4,-1,2] 这个子数组肯定不是最大, 因为把-3舍掉会更大 更进一步, 如果这个子数组边缘位置连续多个数的和是负数, 那么这多个数也可以舍掉, 让总和更大 比如[1,-3,4,-1,2] 这个子数组肯定不是最大, 因为把1,-3舍掉, 可以让总和更大 以示例当中给出的数组进行推演 [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4] ( 下面的每个序号代表推进到第几个元素 ) 1. 总和初始值是0 , 先加第一个数此时总和是`-2` 2. 前面的总和-2, 加上它会使总和 **变小**, 所以不加, 总和 **归零**, 然后加1, 此时总和是`1` 3. 前面的总和1, 加上它会使总和 **变大**, 所以加上, 此时总和是`-2` 4. 前面的总和-2, 加上它会使总和 **变小**, 所以不加, 总和 **归零**, 然后加4, 此时总和是`4` 5. 前面的总和4, 加上它会使总和 **变大**, 所以加上, 此时总和是`3` ..... 每一步是否舍弃前面总和的判断条件就是前面的总和是正还是负, 正数则加, 负数则舍弃 依次进行下去, 从每一步得到的总和里面找出最大的就可以了 每一步的总和分别是`-2 1 -2 4 3 5 6 1 5` 显然最大的是6 #### 代码实现 ```java class Solution { public int maxSubArray(int[] nums) { if(nums.length == 0) { //特殊情况判断 return 0; } int sum = nums[0], maxSum = nums[0]; for(int i=1 ; i maxSum) { maxSum = sum; } } return maxSum; } } ``` 空间复杂度是`O(1)`, 因为使用了常数个变量, 没有开辟长度为n的新数组 时间复杂度是`O(n)`, 因为要逐个遍历传入的数组当中的元素 ### 不同路径问题 一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ） 机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”） 问总共有多少条不同的路径？ ![不同路径问题](/images/算法/robot_maze.png) #### 解决方式 1. 首先最左上角的格子的到达方式肯定只有1种, 因为必须要从这个格子开始走 2. 在每个格子当中只能向右或者向下移动, 所以每个对于每个格子来说, 到达这个格子的时候, 只能从左侧或者上方到达 3. 左边缘的格子无法从左侧到达, 上边缘的格子无法从上方到达 所以对于每个格子来说, 到达这个格子的路径的数量 = 到达左侧格子的数量 + 到达上方格子的数量 左边缘的格子前者为0, 上边缘的格子后者为0 根据这个原则, 就可以把到达每个格子的路径数量递推出来了 #### 代码实现 ```java public int uniquePaths(int m, int n) { if(m<=0 || n<=0) { return 0; } int[][] nums = new int[m+1][n+1]; nums[1][1] = 1; for(int i=1 ; i<=m ; i++) { for(int j=1 ; j<=n ; j++) { if(i==1 && j==1) { continue; } nums[i][j] = nums[i-1][j] + nums[i][j-1]; } } return nums[m][n]; } ``` 整体思路就是创建一个整数二维数组, m+1和n+1是为了留出第一行和第一列数值都是0 方便进行计算, 当然这个也不是必须的, 在循环当中判断也可以, 但是不影响时间和空间复杂度