动态规划(2)

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@@ -84,7 +84,7 @@ public int uniquePaths(int m, int n) {
     return 0;
   }
   int[][] nums = new int[m+1][n+1];
-  nums[1][1] = 1;
+  nums[1][1] = 1; // 起点方格的走法
   for(int i=1 ; i<=m ; i++) {
     for(int j=1 ; j<=n ; j++) {
       if(i==1 && j==1) {
@@ -97,4 +97,51 @@ public int uniquePaths(int m, int n) {
 }
 ```
 整体思路就是创建一个整数二维数组, m+1和n+1是为了留出第一行和第一列数值都是0
-方便进行计算, 当然这个也不是必须的, 在循环当中判断也可以, 但是不影响时间和空间复杂度
+方便进行计算, 当然这个也不是必须的, 在循环当中判断也可以, 但是不影响时间和空间复杂度
+时间复杂度`O(mn)`
+空间复杂度`O(mn)`
+
+#### 进阶
+如果某些方格存在障碍物, 机器人不能经过这些格子
+有多少走法该如何计算
+传入的参数是一个整数二维数组, 其中0代表该位置无障碍, 1代表该位置有障碍
+
+这个问题同样可以沿用上一题的解法
+需要补充的就是在障碍物的位置, 右侧和下方的格子
+其对应的来自左侧和上面的走法应该是0, 因为无法从障碍物走过来
+
+代码实现
+```java
+public int uniquePathsWithObstacles(int[][] obstacleGrid) {
+  int m = obstacleGrid.length;
+  if(m == 0) {
+    return 0;
+  }
+  int n = obstacleGrid[0].length;
+  // 需要排除宽度是0以及高度是0的情况, 这种情况下走法是0
+  // 还需要排除起点位置有障碍和终点位置有障碍的情况, 这种情况下走法也是0
+  if(n == 0 || obstacleGrid[0][0] == 1 || obstacleGrid[m-1][n-1] == 1) {
+    return 0;
+  }
+  int[][] nums = new int[m+1][n+1];
+  nums[1][1] = 1;
+  for(int i=1 ; i<=m ; i++) {
+    for(int j=1 ; j<=n ; j++) {
+      if(i == 1 && j == 1) {
+        continue;
+      }
+      // 判断左侧是否有障碍
+      int left = (i > 1 && obstacleGrid[i-2][j-1] == 0) ? nums[i-1][j] : 0;
+      // 判断上方是否有障碍
+      int top = (j > 1 && obstacleGrid[i-1][j-2] == 0) ? nums[i][j-1] : 0;
+      nums[i][j] = left + top;
+    }
+  }
+  return nums[m][n];
+}
+```
+
+### 总结
+动态规划的主要应用于使用穷举去解决时间复杂度过高的问题
+将大问题化解为小问题, 并且记住前面小问题的求解结果, 避免在穷举过程中对前面小问题的重复求解
+从而降低时间复杂度

source/_posts/算法/动态规划(2).md

@@ -0,0 +1,94 @@
+---
+title: 动态规划(2)
+date: 2018-9-1 21:40:02
+tags: 
+  - 算法
+  - 动态规划
+categories: 
+  - 算法
+---
+### 最小路径和
+
+给定一个包含非负整数的 m x n 网格，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。
+说明：每次只能向下或者向右移动一步。
+<!-- more -->
+> 示例:
+输入:
+[
+  [1,3,1],
+  [1,5,1],
+  [4,2,1]
+]
+输出: 7
+解释: 因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。
+
+这个问题其实和上一篇当中的 **最大子序和** 可以采用相似的方式来解决
+创建一个 m x n 的二维数组
+数组中每个位置记录到达该位置的最小路径和
+到达该位置的最小路径和 = min(到达左侧位置的最小路径和, 到达上方位置的最小路径和) + 给定数组在当前格的值
+同时排除掉第一行和第一列的特殊情况
+
+#### 代码实现
+```java
+public int minPathSum(int[][] grid) {
+  int m = grid.length;
+  if(m == 0) {
+    return 0;
+  }
+  int n = grid[0].length;
+  if(n == 0) {
+    return 0;
+  }
+  int[][] nums = new int[m][n];
+  nums[0][0] = grid[0][0];
+  int currentMin = 0;
+  for(int i=0 ; i<m ; i++) {
+    for(int j=0 ; j<n ; j++) {
+      if(i == 0 && j == 0) {
+        continue;
+      }
+      if(i-1 < 0) {
+        currentMin = nums[i][j-1];
+      } else if (j-1 < 0) {
+        currentMin = nums[i-1][j];
+      } else {
+        currentMin = Math.min(nums[i][j-1], nums[i-1][j]);
+      }
+      nums[i][j] = grid[i][j] + currentMin;
+    }
+  }
+  return nums[m-1][n-1];
+}
+```
+时间复杂度是O(mn), 空间复杂度是O(mn)
+当然空间复杂度可以继续优化, 完全可以在传入的数组上面直接对数值进行覆盖, 不去开辟额外的空间
+让空间复杂度达到O(1)
+```java
+public int minPathSum(int[][] grid) {
+  int m = grid.length;
+  if(m == 0) {
+    return 0;
+  }
+  int n = grid[0].length;
+  if(n == 0) {
+    return 0;
+  }
+  int currentMin = 0;
+  for(int i=0 ; i<m ; i++) {
+    for(int j=0 ; j<n ; j++) {
+      if(i == 0 && j == 0) {
+        continue;
+      }
+      if(i-1 < 0) {
+        currentMin = grid[i][j-1];
+      } else if (j-1 < 0) {
+        currentMin = grid[i-1][j];
+      } else {
+        currentMin = Math.min(grid[i][j-1], grid[i-1][j]);
+      }
+      grid[i][j] = grid[i][j] + currentMin;
+    }
+  }
+  return grid[m-1][n-1];
+}
+```