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title: 动态规划
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date: 2018-8-27 02:17:07
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tags:
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- 算法
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- 动态规划
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categories:
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- 算法
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### 楔子
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最大子序和 ( leetcode题目 )
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给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。
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> 示例:
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输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
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输出: 6
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解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。
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<!-- more -->
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题目只需要求最大的和是多少, 而不需要知道这个子数组的起止位置
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首先需要明确的是, 如果这个子数组的边缘位置(第一个或最后一个)元素是一个负数
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那么这个子数组的和肯定不是最大的, 因为舍掉这个元素, 之后的和肯定会更大, 负数是会让总和减小的
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比如[-3,4,-1,2] 这个子数组肯定不是最大, 因为把-3舍掉会更大
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更进一步, 如果这个子数组边缘位置连续多个数的和是负数, 那么这多个数也可以舍掉, 让总和更大
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比如[1,-3,4,-1,2] 这个子数组肯定不是最大, 因为把1,-3舍掉, 可以让总和更大
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以示例当中给出的数组进行推演
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[-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
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( 下面的每个序号代表推进到第几个元素 )
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1. 总和初始值是0 , 先加第一个数此时总和是`-2`
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2. 前面的总和-2, 加上它会使总和 **变小**, 所以不加, 总和 **归零**, 然后加1, 此时总和是`1`
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3. 前面的总和1, 加上它会使总和 **变大**, 所以加上, 此时总和是`-2`
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4. 前面的总和-2, 加上它会使总和 **变小**, 所以不加, 总和 **归零**, 然后加4, 此时总和是`4`
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5. 前面的总和4, 加上它会使总和 **变大**, 所以加上, 此时总和是`3`
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.....
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每一步是否舍弃前面总和的判断条件就是前面的总和是正还是负, 正数则加, 负数则舍弃
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依次进行下去, 从每一步得到的总和里面找出最大的就可以了
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每一步的总和分别是`-2 1 -2 4 3 5 6 1 5`
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显然最大的是6
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#### 代码实现
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```java
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class Solution {
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public int maxSubArray(int[] nums) {
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if(nums.length == 0) { //特殊情况判断
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return 0;
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}
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int sum = nums[0], maxSum = nums[0];
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for(int i=1 ; i<nums.length ; i++) {
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sum = (sum < 0 ? nums[i] : sum + nums[i]);
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if(sum > maxSum) {
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maxSum = sum;
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}
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}
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return maxSum;
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}
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}
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```
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空间复杂度是`O(1)`, 因为使用了常数个变量, 没有开辟长度为n的新数组
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时间复杂度是`O(n)`, 因为要逐个遍历传入的数组当中的元素 |